Matemáticas I. Álgebra lineal.

En esta asignatura, de 1º de Ingeniería de Telecomunicación, se estudia el álgebra matricial, que será a su vez utilizada para trabajar con espacios vectoriales y para definir aplicaciones lineales, bilineales y cuadráticas. A su vez se aprenderá a simplificar las matrices que caracterizan a dichas aplicaciones mediante su diagonalización o triangularización según sea posible.

La signatura empieza por un par de teas introductorios que repasan la teoría de conjuntos y las estructuras algebraicas:

1. Teoría de conjuntos. Aplicaciones. Relaciones. Nociones de lógica.
• Conjuntos, elementos, subconjuntos.
• Operaciones entre conjuntos. Propiedades.
• Aplicaciones. Tipos. Composicion de Aplicaciones.
• Relaciones binarias: Relaciones de equivalencia, propiedades, relaciones de orden. Orden total y parcial.
2. Estructuras algebraicas.
• Leyes de composición. Propiedades.
• Grupos. Subgrupos.
• Anillos. Subanillos.
• Cuerpos. Subcuerpos.

A continuación viene el temario propio de la asignatura, compuesto de los siguientes temas:

1. Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales.
• Operaciones con matrices.
• Tipos especiales de matrices.
• Matrices en el campo complejo.
• Matrices particionadas.
• Determinantes.
• Matriz inversa de una matriz regular.
• Transformaciones elementales de matrices.
• Sistemas de ecuaciones lineales.
2. Espacios vectoriales.
• Estructura algebraica de espacio vectorial.
• Subespacios vectoriales.
• Dependencia e independencia lineal. Base, dimensión y coordenadas.
• Cambio de base.
• Dimensión y ecuaciones de un subespacio vectorial.
• Operaciones con subespacios vectoriales.
• Definiciónn de norma. Ejemplos de norma.
3. Espacios con producto escalar.
• Espacios euclídeos y espacios unitarios.
• Propiedades del producto escalar. Desigualdad de Schwartz.
• Norma inducida por un producto escalar.
• Expresión matricial del producto escalar. Cambio de base.
• Vectores ortogonales, normados y ortonormados.
• Método de ortogonalización de Gram-Schmidt.
• Complemento ortogonal de un subespacio vectorial.
• Proyección ortogonal sobre un subespacio.
• Caracterización del elemento mejor aproximación.
4. Aplicaciones lineales.
• Definición de aplicación lineal. Propiedades.
• Imagen y núcleo de una aplicación lineal.
• Teorema fundamental de las aplicaciones lineales.
• Clasificación de las aplicaciones lineales.
• Expresión matricial de una aplicación lineal.
• Rango de una aplicación lineal.
• Relación entre las matrices que caracterizan a una misma aplicación lineal en distintas bases.
5. Diagonalización por transformaciones de semejanza.
• Introducción.
• Autovalores y autovectores: cálculo y propiedades.
• Diagonalización por semejanza.
6. Triangularización por transformaciones de semejanza.
• Introducción.
• Forma de Jordan de matrices de orden dos y tres.
• Teorema de clasificación de Jordan.
• Algoritmo de obtención de la forma de Jordan de una matriz.
7. Formas bilineales y formas cuadráticas.
• Formas bilineales: expresión matricial.
• Formas cuadráticas.
• Formas cuadráticas reales.
• Diagonalización de una forma cuadrática.
• Ley de inercia de Sylvester. Signatura de una forma cuadrática.

La bibliografía utilizada en esta asignatura ha sido:

• Álgebra Lineal. Matemáticas I. Notas de Clase. - Departamento de Matemática Aplicada de la Escuela Superior de Ingenieros Industriales y de Ingenieros de Telecomunicación de Bilbao.
• Álgebra Lineal. Problemas de Clase. - Departamento de Matemática Aplicada de la Escuela Superior de Ingenieros Industriales y de Ingenieros de Telecomunicación de Bilbao.