En esta asignatura, de 1º de Ingeniería de Telecomunicación, se estudia el álgebra matricial, que será a su vez utilizada para trabajar con espacios vectoriales y para definir aplicaciones lineales, bilineales y cuadráticas. A su vez se aprenderá a simplificar las matrices que caracterizan a dichas aplicaciones mediante su diagonalización o triangularización según sea posible.
La signatura empieza por un par de teas introductorios que repasan la teoría de conjuntos y las estructuras algebraicas:
- Teoría de conjuntos. Aplicaciones. Relaciones. Nociones de lógica.
- Conjuntos, elementos, subconjuntos.
- Operaciones entre conjuntos. Propiedades.
- Aplicaciones. Tipos. Composicion de Aplicaciones.
- Relaciones binarias: Relaciones de equivalencia, propiedades, relaciones de orden. Orden total y parcial.
- Estructuras algebraicas.
- Leyes de composición. Propiedades.
- Grupos. Subgrupos.
- Anillos. Subanillos.
- Cuerpos. Subcuerpos.
- Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales.
- Operaciones con matrices.
- Tipos especiales de matrices.
- Matrices en el campo complejo.
- Matrices particionadas.
- Determinantes.
- Matriz inversa de una matriz regular.
- Transformaciones elementales de matrices.
- Sistemas de ecuaciones lineales.
- Espacios vectoriales.
- Estructura algebraica de espacio vectorial.
- Subespacios vectoriales.
- Dependencia e independencia lineal. Base, dimensión y coordenadas.
- Cambio de base.
- Dimensión y ecuaciones de un subespacio vectorial.
- Operaciones con subespacios vectoriales.
- Definiciónn de norma. Ejemplos de norma.
- Espacios con producto escalar.
- Espacios euclídeos y espacios unitarios.
- Propiedades del producto escalar. Desigualdad de Schwartz.
- Norma inducida por un producto escalar.
- Expresión matricial del producto escalar. Cambio de base.
- Vectores ortogonales, normados y ortonormados.
- Método de ortogonalización de Gram-Schmidt.
- Complemento ortogonal de un subespacio vectorial.
- Proyección ortogonal sobre un subespacio.
- Caracterización del elemento mejor aproximación.
- Aplicaciones lineales.
- Definición de aplicación lineal. Propiedades.
- Imagen y núcleo de una aplicación lineal.
- Teorema fundamental de las aplicaciones lineales.
- Clasificación de las aplicaciones lineales.
- Expresión matricial de una aplicación lineal.
- Rango de una aplicación lineal.
- Relación entre las matrices que caracterizan a una misma aplicación lineal en distintas bases.
- Diagonalización por transformaciones de semejanza.
- Introducción.
- Autovalores y autovectores: cálculo y propiedades.
- Diagonalización por semejanza.
- Triangularización por transformaciones de semejanza.
- Introducción.
- Forma de Jordan de matrices de orden dos y tres.
- Teorema de clasificación de Jordan.
- Algoritmo de obtención de la forma de Jordan de una matriz.
- Formas bilineales y formas cuadráticas.
- Formas bilineales: expresión matricial.
- Formas cuadráticas.
- Formas cuadráticas reales.
- Diagonalización de una forma cuadrática.
- Ley de inercia de Sylvester. Signatura de una forma cuadrática.
La bibliografía utilizada en esta asignatura ha sido:
- Álgebra Lineal. Matemáticas I. Notas de Clase. - Departamento de Matemática Aplicada de la Escuela Superior de Ingenieros Industriales y de Ingenieros de Telecomunicación de Bilbao.
- Álgebra Lineal. Problemas de Clase. - Departamento de Matemática Aplicada de la Escuela Superior de Ingenieros Industriales y de Ingenieros de Telecomunicación de Bilbao.
